G = N*Y(P,T)
F = N*Y(V, T)

Я уже нигде не уверен... Но логично же! Обе велечины аддитивны. Значит можно так делать.

G = N*Y(P,T)
F = N*Y(V, T)

ты вот здесь уверен?

dG = mu*dN + V*dP - S*dT
G(N,P,T) -- экстенсивна, а, значит, G = N*Y(P,T), где Y -- некая функция.
В то же время, в силу независимости N,P,T:
dG/dN = mu => d[N*Y(P,T)]/dN = mu => Y(P,T) = mu
а, значит, G = mu*N, ЧТД

Что, блин, мешает сделать то же самое, для доказательства F = mu*N ?

dF = mu*dN - P*dV - S*dT
F(N,V,T) -- экстенсивна, а, значит, F = N*Y(V, T), где Y -- некая функция.
В то же время, в силу независимости N,V,T:
dF/dN = mu => d[N*Y(V,T)]/dN = mu => Y(V,T) = mu
а, значит, F = mu*N, ЧТД

Но это бред! F никак не равно mu*N.
В тексте были использованы следущие обозначения:
G -- свободная энергия Гиббса
F -- свободная энергия Гельмгольца
N -- число частиц системы
V -- объём системы
P -- давление в системе
mu -- химический потенциал системы
----------------------------------------------
За разрешение моего маленького когнитивного диссонанса плачу 50к.